欧拉公式推导 欧拉公式推导简述

欧拉公式推导如下:

1. 欧拉公式是e^ix=cosx+isinx, e是自然对数的底,I是虚数单位。将三角函数的定义域扩展到复数,建立了三角函数与指数函数的关系。它在复变函数理论中起着非常重要的作用。

2. e^ix=cosx+isinx的证明:因为e^x=1+x/1+ x^2/2!+ x ^ 3/3 !+ x ^ 4/4 !+……因为x = 1 – x ^ 2/2 !+ x ^ 4/4 !- x ^ 6/6 !……sin (x) = x ^ 3/3 !+ x ^ 5/5 !- x ^ 7/7 !……在e^x的展开中,用±IX代替x。(±i)²=-1,(±i)³=??I,(±I)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!- x ^ 2/2 ! ? ?x ^ 3/3 !+ x ^ 4/4 !…… = ( 1 – x ^ 2/2 !+…)±I (X -x^3/3!…)所以e^ix =cosx±isinx将公式中的X替换为-x得到:e^-ix=cosx isinx,然后将两个公式加减得到:sinx= (e^ix-e^-ix) / (2I), cosx= (e^ix+e^-ix) /2这两个公式也称为欧拉公式。取e^ix中的X =cosx+isinx = π,得到e^i π +1=0。

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